Class 10 RBSE Trigonometric Ratios Solutions in Hindi 2020

Trigonometric Ratios Solutions in Hindi 2020 for Class 10 RBSE

Dear Students Trigonometric Ratios के Questions करने से पहले आपको समकोण त्रिभुज के विशिष्ट कोण 0°, 30°, 45°, 60°, 90° का मान पता होना चाहिए जिसे आप निम्न सारणी से समझ सकते है -
निम् के मान ज्ञात करो -

Question 1.    2sin 45° cos 45°

Answer -    यहाँ sin 45° और cos 45° का मान रखना है -

जँहा sin 45° = 1/√2 , cos 45°= 1/√2

= 2 × 1/√2 × 1/√2

= 2 × 1/2

= 1

Question 2.    cos 45° cos 60° – sin 45° sin 60°

Answer -    यहाँ cos 45°, cos 60°, sin 45° और sin 60° का मान रखना है -

जँहा cos 45° = 1/√2, cos 60° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2

= 1/√2 × 1/2 - 1/√2 × √3/2

= 1/2√2 - √3/2√2

= (1- √3)/2√2

Question 3.    sin² 30° + 2 cos² 45° + 3 tan² 60°

Answer -    यहाँ sin 30°, cos 45° और tan 60° का मान रखना है -

जँहा sin 30° = 1/2, cos 45° = 1/√2, tan 60° = √3

= (1/2)² + 2 × (1/ √2)² + 3 × (√3)²

= 1/4 + 1+ 9

= 41/4

Question 4.    3 sin 60° – 4 sin³ 60°

Answer -    यहाँ sin 60° का मान रखना है -

जँहा sin 60° = √3/2

= 3 × √3/2 - 4 (√3/2)³

= 3 × √3/2 - 4 × (3√3)/8

= 3 × √3/2 - (3√3)/2

= 0

Question 5.    $\frac{\mathrm{[5\; cos²\; 60°\; +\; 4\; sin²\; 30°\; +\; tan²\; 45°]}}{\mathrm{[sin²30°\; +\; cos²\; 45°\; ]}}$

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से cos 60° , sin 30° , tan 45°, cos 45° का मान रखने पर -

= $\frac{\mathrm{[5\; \times \; (1/2)²\; +\; 4\; \times \; (1/2)²\; +\; (1)²]}}{\mathrm{[(1/2)²\; +\; (1/\surd 2)²]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; 5\; \times \; 1/4\; +\; 4\; \times \; 1/4\; +\; 1\; ]}}{\mathrm{[\; 1/4\; +\; 1/2\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; 5/4\; +\; 1\; +\; 1\; ]}}{\mathrm{[\; 1/4\; +\; 1/2\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{13/4}}{\mathrm{3/4}}$

= $\frac{13}{3}$

Question 6.-    4 × cot² 45° - sec² 60° + sin² 60° + cos² 90°

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से cot 45° , sec 60°, sin 60° , cos 90° का मान रखने पर -

= 4 × (1)² - (2)² + (√3/2)² + (0)²

= 4 × 1 – 4 + 3/4 + 0

= 4 – 4 + 3/4

= 3/4

Question 7.-    $\frac{4}{\mathrm{cot²\; 30°}}$ + $\frac{1}{\mathrm{sin²\; 30°\; -\; cos²\; 45°}}$

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से cot 30° , sin 30°, cos 45° का मान रखने पर

= 4 / (√3)² + 1 /(1/2)² - (1/√2)²

= 4/3 + 1/(1/4) - 1/2

= 4/3 + 4 – 1/2

= 29/6

Question 8.-    $\frac{\mathrm{[\; tan²\; 60°\; +\; 4\; sin²\; 45°\; +\; sin²\; 90°\; ]}}{\mathrm{[\; 3\; sec²\; 30°\; +\; cosec²\; 60°\; -\; cot²\; 30°\; ]}}$

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से tan 60° , sin 45°, sin 90°, sec 30° , cosec 60°, cot 30° का मान रखने पर

= $\frac{\mathrm{[\; (\surd 3)²\; +\; 4\; \times \; (1/\surd 2)²\; +\; (1)²\; ]}}{\mathrm{[\; 3\; \times \; (2/\surd 3)²\; +\; (2/\surd 3)²\; -\; (\surd 3)²\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; 3\; +\; 4\; \times \; 1/2\; +\; 1\; ]}}{\mathrm{[\; 3\; \times \; 4/3\; +\; 4/3\; -\; 3\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; 3\; +\; 2\; +\; 1\; ]}}{\mathrm{[\; 4\; +\; 4/3\; -\; 3\; ]}}$

= $\frac{6}{\mathrm{7/3}}$

= 6 × 3/7

= 18/7

Question 9.-    $\frac{\mathrm{[\; sin\; 30°\; -\; sin\; 90°\; +\; 2\; cos\; 0°\; ]}}{\mathrm{[\; tan\; 30°\; tan\; 60°\; ]}}$

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से sin 30° , sin 90°,cos 0°, tan 30° tan 60° का मान रखने पर

= $\frac{\mathrm{[\; 1/2\; -\; 1\; +\; 2\; \times \; 1\; ]}}{\mathrm{[\; 1/\surd 3\; \times \; \surd 3\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; 1/2\; -\; 1\; +\; 2\; ]}}{1}$

= $\frac{3}{2}$ × 1

= $\frac{3}{2}$

Question 10.-    $\frac{\mathrm{2\; tan\; 30°}}{\mathrm{(1-\; tan²\; 30°)}}$

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से tan 30° का मान रखने पर

= $\frac{\mathrm{[\; 2\; \times \; 1/\surd 3\; ]}}{\mathrm{[1\; -\; (1/\; \surd 3)²\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; 2/\surd 3\; ]}}{\mathrm{[\; 1\; –\; 1/3\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; 2/\surd 3\; ]}}{\mathrm{2/3}}$

= $\frac{2}{\mathrm{\surd 3}}$ × $\frac{3}{2}$

= √3

Question 11.-    (i) cos x = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से cos 60°, cos 30°, sin 60°, sin 30° का मान रखने पर

Cos x = 1/2 × √3/2 + √3/2 × 1/2

Cos x = √3/4 + √3/4

Cos x = 2 × √3/4

Cos x = √3/2 ( ∵ cos 30° = √3/2 )

∴ x = 30°

(ii) sin 2x = sin 60° cos 30° - cos 60° sin 30°

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से sin 60°, cos 30°, cos 60°, sin 30° का मान रखने पर -

Sin 2x = √3/2 × √3/2 - 1/2 × 1/2

Sin 2x = 3/4 - 1/4

Sin 2x = 1/2 ( ∵ sin 30° = 1/2 )

∴ Sin 2x = sin 30°

2x = 30°

x = 15°

(iii) √3 tan 2x = sin 30° + sin 45° cos 45° + 2 sin 90°

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से sin 30°, sin 45°, cos 45° , sin 90° का मान रखने पर -

√3 tan 2x = 1/2 + 1/√2 × 1/√2 + 2 × 1

√3 tan 2x = 1/2 + 1/2 + 2

√3 tan 2x = 3

tan 2x = 3/√3 = √3 ( ∵ tan 60° = √3 )

∴ tan 2x = tan 60°

2x = 60°

x = 30°

सिद्ध करो -

Question 12.-    $\frac{\mathrm{[\; cos\; 30°\; +\; sin\; 60°\; ]}}{\mathrm{[\; 1+\; cos\; 60°\; +\; sin\; 30°\; ]}}$ = $\frac{\mathrm{\surd 3}}{2}$

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से cos 30°, sin 60°, cos 60°, sin 30° का मान रखने पर -

= $\frac{\mathrm{[\; \surd 3/2\; +\; \surd 3/2\; ]}}{\mathrm{[\; 1\; +\; 1/2\; +\; 1/2\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{2\; \times \; \surd 3/2}}{\mathrm{4/2}}$

= √3/2

Question 13.-    4 cot² 45° - sec² 60° - sin² 30° = - 1/4

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से cot 45°, sec 60°, sin 30° का मान रखने पर -

= 4 × (1)² - (2)² - (1/2)²

= 4 × 1 – 4 – 1/4

= 4 – 4 – 1/4

= -1/4

Question 14.-    4 sin 30° sin² 60° + 3 cos 60° tan 45° = 2 sec² 45° - cosec² 90°

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से sin 30°, sin 60°, cos 60°, tan 45° , sec 45°, cosec 90° का मान रखने पर -

L.H.S.

= 4 × 1/2 × (√3/2)² + 3 × 1/2 × 1

= 4/2 × 3/4 +3/2

= 3/2 + 3/2

= 6/2

= 3

R.H.S.

= 2 (√2)² - (1)²

= 2 × 2 – 1

= 4 – 1

= 3

∴ L.H.S. = R.H.S.

Question 15.-    Cosec2 45° sec² 30° sin³ 90° cos 60° = 4/3

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से Cosec 45°, sec 30°, sin 90°, cos 60° का मान रखने पर -

= (√2)² × (2/√3)² × (1)³ × (1/2)

= 2 × 4/3 × 1 × 1/2

= 2 × 4/3 × 1 × 1/2

= 4/3

Question 16.-    $\frac{\mathrm{[\; sin\; 60°\; +\; sin\; 30°\; ]}}{\mathrm{[\; sin\; 60°\; –\; sin\; 30°\; ]}}$ = $\frac{\mathrm{[\; tan\; 60°\; +\; tan\; 45°\; ]}}{\mathrm{[\; tan\; 60°\; –\; tan\; 45°\; ]}}$

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से sin 60° , sin 30°, tan 60° , tan 45° का मान रखने पर -

L.H.S.

= $\frac{\mathrm{[\; \surd 3/2\; +\; 1/2\; ]}}{\mathrm{[\; \surd 3/2\; -\; 1/2\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{[\; (\; \surd 3\; +\; 1\; )/2\; ]}}{\mathrm{[\; (\surd 3\; -\; 1\; )/2\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{(\; \surd 3\; +\; 1\; )}}{2}$ × $\frac{2}{\mathrm{(\surd 3\; -\; 1\; )}}$

= $\frac{\mathrm{(\; \surd 3\; +\; 1\; )}}{\mathrm{(\; \surd 3\; -\; 1\; )}}$

R.H.S.

= $\frac{\mathrm{(\; \surd 3\; +\; 1\; )}}{\mathrm{(\; \surd 3\; -\; 1\; )}}$

∴ L.H.S. = R.H.S.

Question 17.-    2 ( cos² 45° + tan² 60° ) - 6 ( sin² 45° – tan² 30° ) = 6

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से cos 45°, tan 60° , sin 45°, tan 30° का मान रखने पर -

= 2 [ (1/√2)² + (√3)² ] - 6 [ (1/√2)² - (1/√3)² ]

= 2 [ 1/2 + 3 ] - 6 [ 1/2 - 1/3 ]

= 2 [ 7/2 ] - 6 [ 1/6 ]

= 7 – 1

= 6

Question 18.-    ( sec² 30° + cosec² 45° ) ( 2 cos 60° + sin 90° + tan 45° ) = 10

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से sec 30°, cosec 45° , cos 60° , sin 90° , tan 45° का मान रखने पर -

= [ ( 2/√3)² + (√2)² ] [ ( 2 × 1/2 + 1 + 1 )

= ( 4/3 + 2 ) ( 1 + 1 + 1 )

= 10/3 × 3

= 10

Question 19.-    (1 - sin 45° + sin 30°) (1 + cos 45° + cos 60°) = 7/4

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से sin 45° , sin 30°, cos 45° ,cos 60° का मान रखने पर -

= (1-1/√2 + 1/2) ( 1 + 1/√2 +1/2) = 7/4

= (3/2 - 1/√2) (3/2 + 1/√2)

= (3/2)2- (1/√2)2

= 9/4 - 1/2

= 7/4

Question 20.-    Cos² 0° – 2 cot² 30° + 3 cosec² 90° = 2(sec² 45° – tan² 60°)

Answer -    ऊपर दी गयी सारणी में से Cos 0° , cot 30° , cosec 90° ,sec 45° ,tan 60° का मान रखने पर -

L.H.S.

= (1)² - 2 × (√3)² + 3 × (1)²

= 1 – 2 × 3 + 3 × 1

= 1 – 6 + 3

= 4 – 6

= -2

R.H.S.

= 2 [ (√2 )² - (√3)² ]

= 2 [ 2 – 3 ]

= 2 (-1)

= -2

∴ L.H.S. = R.H.S.

Question 21.-   यदि x = 30° हो तो सिद्ध कीजिए :

(i) sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x

Answer -   

L.H.S.

= Sin 3×30°

= sin 90°

= 1

R.H.S.

= 3 × sin 30° – 4 sin³ 30°

= 3× sin 30° – 4 sin³ 30°

= 3× 1/2 - 4× (1/2)³

= 3/2 - 4 × 1/8

= 3/2 - 1/2

= 1

∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) tan 2x = $\frac{\mathrm{(\; 2\; tan\; x\; )}}{\mathrm{(1-tan²\; x\; )}}$

Answer -   

L.H.S.

= tan 2 × 30°

= tan 60°

= √3

R.H.S.

= $\frac{\mathrm{(\; 2\; \times \; tan\; 30°\; )}}{\mathrm{(\; 1\; -\; tan²\; 30°\; )}}$

= $\frac{\mathrm{(\; 2\; \times \; 1/\; \surd 3\; )}}{\mathrm{[\; 1\; -\; (1/\; \surd 3\; )²\; ]}}$

= $\frac{\mathrm{(\; 2/\surd 3\; )}}{\mathrm{(\; 1\; –\; 1/3\; )}}$

= $\frac{\mathrm{(\; 2/\surd 3\; )}}{\mathrm{(\; 2/3\; )}}$

= √3

∴ L.H.S. = R.H.S.

(iii) sin x = $\frac{\mathrm{\surd (1\; –\; cos\; 2x\; )}}{\mathrm{\surd 2}}$

Answer -   

L.H.S.

= sin 30°

= $\frac{1}{2}$

R.H.S.

= $\frac{\mathrm{\surd (1\; –\; cos\; 2\; \times \; 30°\; )}}{\mathrm{\surd 2}}$

= $\frac{\mathrm{\surd (1\; –\; cos\; 60°\; )}}{\mathrm{\surd 2}}$

= $\frac{\mathrm{\surd (1\; –\; 1/2\; )}}{\mathrm{\surd 2}}$

= $\frac{\mathrm{\surd \; (1/2\; )}}{\mathrm{\surd 2}}$

= $\frac{\mathrm{\surd 1}}{2}$

= $\frac{1}{2}$

∴ L.H.S. = R.H.S.

(iv) cos 3x = 4 cos³ x – 3 cos x

Answer -   

L.H.S.

= cos 3 × 30°

= cos 90°

= 0

R.H.S.

= 4 × cos3 30° – 3 × cos 30°

= 4 × (√3/2)³ - 3 × √3/2

= 4 × (3√3)/8 - (3√3)/2

= (3√3)/2 - (3√3)/2

= 0

∴ L.H.S. = R.H.S.

Question 22.    यदि A = 60° और B = 30° हो तो सिद्ध कीजिए :

Cot (A – B) = $\frac{\mathrm{(cot\; A\; cot\; B\; +\; 1)}}{\mathrm{(cot\; B\; –\; Cot\; A)}}$

Answer -   

L.H.S.

= Cot ( 60° – 30° )

= cot 30°

= √3

R.H.S.

= $\frac{\mathrm{(\; cot\; 60°\; cot\; 30°\; +\; 1)}}{\mathrm{(\; cot\; 30°\; –\; cot\; 60°\; )}}$

= $\frac{\mathrm{[\; (1/\surd 3)\times \; (\surd 3)\; +\; 1\; ]}}{\mathrm{[\; (\surd 3)\; -\; (1/\surd 3)\; ]}}$

= $\frac{2}{\mathrm{(2/\surd 3)}}$

= 2×$\frac{\mathrm{\surd 3}}{2}$

= √3

∴ L.H.S. = R.H.S.